Проблема Бернсайда и геометрическая теория групп. Семинар 5 // А. Я. Белов, И. А. Иванов-Погодаев, А. А. Белецкий / ЛШСМ 2023

Рассмотрим конечно-порожденную группу с тождеством x^n=e ∀x. Будет ли она конечна? При n=2 ответ — да, и это упражнение для семинарского занятия. При n=3 ответ тоже да, но это уже задача для международной студенческой олимпиады. При n=4, 6 ответы тоже — да, но это проблемы стоявшие десятилетиями. При n=5 ответ неизвестен! В свое время П. С. Новиков объявил, что при достаточно больших n (порядка десятков) есть контрпримеры. А. И. Мальцев (глава алгебраической школы) прокомментировал его доклад так: это главное событие некоммутативной алгебры 20 века. Для доведения результата до конца П. С. Новиков пригласил С. И. Адяна. В итоге получились оценки на экспоненту сперва порядка нескольких тысяч, потом — сотен. Недавно другим методом Аткарская, Рипс, Кэтрин Тент получили улучшенные оценки. Первоначальное доказательство занимало несколько сот страниц. Однако теперь имеется существенно более короткое доказательство. Курс посвящен решению проблемы Бернсайда методом канонических форм, разработанных Рипсом (не опубликовано). Белов Алексей Яковлевич — доктор физико-математических наук, профессор. Иванов-Погодаев Илья Анатольевич — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник. Белецкий Антон Андреевич. Летняя школа «Современная математика», 19 июля 2023 г