Отборочный этап олимпиады “Изумруд“ 2025-2026

Наш курс подготовки к олимпиадам: Математика - курсы/осенний-курс-по-математике/ Физика - курс-по-физике/ Условия: 1. Треугольный замок состоит из 36 одинаковых залов (см. рис.), между любыми двумя залами есть дверь. Какое наибольшее число залов сможет осмотреть человек, не желающий нигде побывать более одного раза? 2. На полянке по кругу выстроились 48 зайчиков. Каждый зайчик потрогал каждого своего соседа за ушко или за лапку. Всего потроганных лапок было 40. Сколько было потрогано ушек? 3. Отрицательное число х и действительное число у таковы, что x x=66 и ny xy=44. Найдите х. 4. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=AC), в котором АВС=48, отмечена середина D стороны ВС. На отрезке AD выбрана точка Р, а на стороне AB - точка Q так, что Q=РС. Найдите градусную меру угла PQC. 5. Из пунктов А и В навстречу друг другу одновременно выехали два мотоциклиста. Скорость первого мотоциклиста, выехавшего из пункта А, была больше скорости второго мотоциклиста. Когда первый мотоциклист проехал половину пути до В, второму мотоциклисту оставалось преодолеть ещё 280 км до пункта А, а когда второй мотоциклист проехал половину пути, первому оставалось преодолеть 105 км. Найти расстояние между А и В в километрах. 6. Радиус R описанной окружности равнобедренного треугольника в 4 раза больше длины высоты треугольника, проведённой к основанию. Найдите R, если известно, что длина основания равна 7sqrt7. 7. Положительные числа х,у таковы, что x2 y2=81 n xA yA (x y)4=23328. Найдите значение произведения ху. 8. Максим выбрал n подряд идущих чисел, возвёл каждое в квадрат и сложил. Оказалось, что полученная сумма оканчивается на цифру 8. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из выбранных чисел, если известно, что n>872. 9. Дано множество чисел A={1,2,3,...,57}. Сколько существует различных четырёхэлементных подмножеств А таких, что в каждом подмножестве есть два числа с суммой 16 и есть два числа с суммой 24? 10. Какое наибольшее значение может принимать сумма косинусов всех углов равнобедренного треугольника?