Триангуляции многообразий, похожих на проективные плоскости, А.А.Гайфуллин, Семинар “Глобус“

В 1987 году Брем и Кюнель доказали следующую оценку: всякая комбинаторная триангуляция отличного от сферы d-мерного многообразия (без края) должна иметь не менее 3d/2 3 вершин. Более того, наличие у многообразия M, отличного от сферы, триангуляции ровно с 3d/2 3 вершинами накладывает на это многообразие очень жесткие условия. Во-первых, размерность d может быть равна только 2, 4, 8 или 16; во-вторых, M должно допускать (кусочно линейную) функцию Морса ровно с тремя критическими точками. (Илс и Койпер назвали многообразия, удовлетворяющие этим свойствам, многообразиями, похожими на проективные плоскости.) До недавнего времени было известно ровно 5 примеров различных (3d/2 3)-вершинных триангуляций d-мерных многообразий, отличных от сферы: 1) d=2: единственная 6-вершинная триангуляция вещественной проективной плоскости (фактор границы икосаэдра по антиподальной инволюции); 2) d=4: единственная 9-вершинная триангуляция комплексной проективной плоскости (Кюнель, 1983); 3) d=8: три 15-вершинные триангуляции кватернионной проективной плоскости (построение триангуляций - Брем и Кюнель, 1992; доказательство, что эти триангуляции действительно гомеоморфны кватернионной проективной плоскости - Городков, 2016). Случай d=16 оставался полностью открытым: не было известно никаких 27-вершинных триангуляций 16-мерных многообразий, отличных от сферы. В докладе я расскажу о построении таких триангуляций. А именно, будет предъявлено четыре таких симплициальных многообразия с группой симметрий порядка 351 и на их основе построено очень много (более 10^{103}) таких симплициальных многообразий с меньшими группами симметрий. Слово “предъявлено“ означает следующее. Четыре симплициальных многообразия с группой симметрий порядка 351 были найдены при помощи специального компьютерного алгоритма и ответом для каждой из них является список из 286 орбит 16-мерных симплексов. Естественная гипотеза состоит в том, что все построенные симплициальные многообразия кусочно линейно гомеоморфны октавной проективной плоскости. Однако попытки доказательства этой гипотезы упираются в необходимость вычисления второго класса Понтрягина построенных симплициальных многообразий. В настоящее время не известно эффективного способа такого вычисления.