Динамическая система ФермаЭйлера и статистика случайных точек на окружности // Владимир Арнольд

Динамическая система Ферма действует на множестве вычетов по модулю n как умножение на постоянную, взаимно простую с модулем (например, на 2 для нечётного n). Эйлер предложил ограничить эту динамику на множество вычетов, взаимно простых с n, и это позволило ему обобщить малую теорему Ферма (утверждающую, что a^(n−1)=1 (mod n) для любого простого n и любого не делящегося на n целого a). Удивительным свойством динамики Ферма–Эйлера является равенство периодов всех циклов этой динамической системы, являющейся перестановкой, диаграмма Юнга которой — всегда прямоугольник. Было рассказано об удивительных свойствах этих прямоугольников, функции T(n), выражающей период динамики Ферма–Эйлера, и площади S(n) этого прямоугольника (которая растёт, как заметил Гаусс, в среднем как cn, где постоянная c=6/(π^2)=1/ζ(2) есть вероятность взаимной простоты случайно взятых целых чисел, — отношение длины окружности к её диаметру (π∼3,1415926), а ζ — дзета-функция Римана). В основном эти свойства открыты экспериментально, но некоторые из них уже доказаны (хотя недоказанных больше). Вот “физический” смысл некоторых из этих свойств. Случайно выбранные T элементов m-элементного множества как правило различны, если Ta⋅m^(1/2) (“задаче о днях рождения T человек“ соответствует m=365). Если бы случайной была орбита из T вычетов динамики Ферма–Эйлера, то рос бы период как квадратный корень из n. Наблюдаемый линейный рост периода означает неслучайность, проявляющуюся в расталкиваниии элементов орбиты, не желающих иметь близких соседей в своей геометрической прогрессии вычетов. Подобное расталкивание (измеряемое мерой хаотичности, характеризующей средние расстояния между соседними элементами) наблюдается не только для геометрических прогрессий, но и для распределения простых чисел (также выглядящего хаотическим, как и распределение вычетов геометрической прогрессии), и даже для распределения вычетов многих арифметических прогрессий. Из недоказанных гипотез, рядом с которыми проходит это исследование, упомяну бесконечность множества простых чисел q, для которых 2q 1 тоже простое. (Как, просты, например, 3 и 7, 5 и 11, 23 и 47.) Владимир Игоревич Арнольд (1937–2010) — доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. 14 декабря 2002 г. Популярные лекции по математике на Малом мехмате МГУ.