Бильярды: периодические орбиты, законы сохранения и интегрируемость - Глуцюк Алексей Антонович. Лекция 2

«Математическая весна» – ежегодная студенческая школа-конференция, проводимая в Нижнем Новгороде Лектор: Глуцюк Алексей Антонович, факультет математики, НИУ ВШЭ, Москва Известно, что многие физические процессы описываются законами сохранения и принципом наименьшего действия: за данный промежуток времени определенная величина увеличивается на минимально возможную добавку. Миникурс посвящён бильярдам - одному из фундаментальных классов математических систем с вышеупомянутыми свойствами, происходящих из задач механики, физики и оптики. Имеется ряд старых нерешенных и просто формулируемых проблем о бильярдах. Например, не известно, в каждом ли треугольном бильярде есть периодическая траектория. Выпуклый бильярд интегрируем, если существует непрерывное семейство непересекающихся замкнутых кривых (называемых каустиками), таких что всякая касательная к каждой кривой продолжается до бильярдной траектории, касающейся ее всеми своими ребрами. Эллиптические бильярды интегрируемы. Знаменитая открытая гипотеза Бирхгофа утверждает, что интегрируемы только они. Мы покажем, как бильярды возникают в классической механике, и что преобразование бильярда на пространстве ориентированных прямых сохраняет площадь. Мы обсудим вышеупомянутые открытые проблемы и текущее состояние дел в их исследовании. Если время позволит, поговорим об аналогичных проблемах для проективных бильярдов, введенных С.Л.Табачниковым, обобщающих бильярды на поверхностях постоянной кривизны: плоскости, сфере и плоскости Лобачевского. #математическая_весна #ВШЭ #математика #бильярды