#218. ТЕОРЕМА НАПОЛЕОНА

Сегодня мы докажем красивейший геометрический факт — теорему Наполеона. Никаких векторов, никакого счета: два, пожалуй, самых изящных рассуждения, которые в три шага дают нужный результат! Мои курсы: VK: Задачник: Донат: Если на каждой стороне произвольного треугольника извне построить по равностороннему треугольнику, то центры этих правильных треугольников образуют также правильный треугольник. Так звучит теорема Наполеона. Того самого. Освежите в памяти #215 выпуск — очень пригодится! ДОКАЗАТЕЛЬСТВО свойства линии центров пересекающихся окружностей. MB=MT, KB=KT (как радиусы). Треугольники MBT и KBT — равнобедренные. Проведем их медианы MB₁ и KB₁ которые по свойству равнобедренного треугольника являются также высотами. Значит, угол MB₁K является развернутым. Стало быть, линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна общей хорде и делит ее пополам, что и требовалось доказать. ВОПРОС. А как строго доказать, что при втором повороте точка K перейдет в K₁? ОТВЕТ. Кликните на паузу в 3:51 и посмотрите внимательно на шесть острых углов с вершиной A. Три из них равны углам исходного треугольника ABC, то есть в сумме дают 180° — это три темно-красных угла, которые чередуются через один. Еще два уголочка ZAB и CAY равны по 60° как углы правильных треугольников. Из этого следует, что последний угол, у которого розовые стороны, равен 360°–(180° 60° 60°)=60°. Это и объясняет, что и при первом, и при втором поворотах треугольник BCX переходит в один и тот же розовый треугольник с центром K₁. 0:00 — Формулировка 0:35 — Первое доказательство 2:22 — Второе доказательство 4:25 — Бонусы 4:43 — Финальная анимация БОЖЕСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ: 1. Торричелли там что-то доказал: 2. Прямая и окружность Эйлера, лемма о трезубце, орототреугольник: 3. Теорема Вивиани и формула Карно: 4. Теоремы Монжа, Брианшона, Дезарга: 5. Красивая задача с «Всероса»: #Наука #Геометрия #Математика