2023-09-28, Обратимые разностные схемы для классических нелинейных осцилляторов

Обратимые разностные схемы для классических нелинейных осцилляторов Гамбарян Марк Малых М.Д. Кафедра математического моделирования и искусственного интеллекта, РУДН Обратимые разностные схемы можно составить для широкого класса нелинейных динамических — динамических систем с квадратичной правой частью, к которому принадлежат как все классические нелинейные осцилляторы, интегрируемые в эллиптических функциях, так и системы, не интегрируемые в классических трансцендентных функциях, напр., несимметричные гироскопы. В компьютерных экспериментах мы с удивлением увидели, что точки приближенных решений, найденные по обратимым схемам для классических осцилляторов, выстраиваются в линии. Эллиптическим осцилляторам соответствует тот особый случай, когда точки не только точных, но и приближенных решений ложатся на эллиптические кривые. Дискретная и непрерывные теории эллиптических осцилляторов описываются одними и теми же формулами: квадратура описывает переход от начальных данных к конечным, движение является периодическим, описывается мероморфными функциями и т.д. Вся разница состоит в том, что в дискретной теории дискрет ∆t подобран таким образом, что бирациональное преобразование, описывающее переход от старого положения системы к новому, продолжается до преобразования Кремоны. Reversible difference schemes for classical nonlinear oscillators Mark Gambaryan Mikhail Malykh Department of Mathematical Modeling and Artificial Intelligence, RUDN University Reversible difference schemes can be constructed for a wide class of nonlinear dynamic with quadratic right-hand side, which includes both all classical nonlinear oscillators integrable in elliptic functions and systems that are not integrable in classical transcendental functions, e.g., asymmetric tops. In the computer experiments we were surprised to see that the points of approximate solutions found by reversible schemes for classical oscillators line up into curves. Elliptic oscillators correspond to the special case, when the points of not only exact but also approximate solutions lie on elliptic curves. The discrete and continuous theories of elliptic oscillators are described by the same formulas: the quadrature describes the transition from initial to final data, the motion is periodic, it is described by meromorphic functions, and so on. The whole difference lies in the fact that in the discrete theory the birational transformation describing the transition from the old position of the system to the new one is continued to the Cremona transformation.