Тыртышников Е.Е. | Лекция 3 по спецкурсу “Алгебра и геометрия тензоров“, 2023 осень | ВМК МГУ

00:00:04 Идеалы и порождающие системы • Рассматривается идеал, порожденный множеством старших членов многочленов. • Идеал обладает базисом и порождающей системой, составленной из маномов или старших членов. 00:04:17 Деление многочленов на старшие члены • Если остаток от деления многочлена на систему многочленов не равен нулю, то старший член остатка должен делиться на старший член хотя бы одного из многочленов системы. 00:09:54 Редуцированный базис Гребнера • Редуцированный базис Гребнера - это базис Гребнера, старший коэффициент каждого многочлена которого равен единице. • Ни один моном любого многочлена из этого базиса не делится на старший член ни одного из оставшихся многочленов. 00:12:08 Алгоритм Бухбергера • Идея алгоритма Бухбергера заключается в рассмотрении полиномиальных линейных комбинаций на любую пару многочленов. • Если старший коэффициент полиномиальной линейной комбинации делится на старший коэффициент имеющейся системы, то многочлен является элементом базиса Гребнера. • Если не делится, то многочлен добавляется в систему и процесс продолжается. 00:15:22 Алгоритм Бурберкера • Вводится понятие многочлена сизигии и объясняется алгоритм Бурберкера для его построения. • Алгоритм основан на делении многочленов на имеющуюся систему многочленов и выборе пары для построения многочлена сизигии. 00:22:37 Теорема Гильберта о базисе • Доказывается, что алгоритм Бурберкера обязательно останавливается, так как последовательность мономиальных идеалов стабилизируется. • Утверждается, что алгоритм Бурберкера выдает базис Гребнера, если для любого с-многочлена остаток его определения на построенную систему равен нулю. 00:31:48 Доказательство критерия Бурбернера • Доказывается утверждение, что если система многочленов имеет одинаковые мультистепени и старшие члены после суммирования сокращаются, то этот многочлен можно записать как линейную комбинацию с-многочленов. • Утверждение позволяет доказать критерий Бурбернера, который утверждает, что система многочленов является базисом Гребнера, если для любого с-многочлена остаток его определения на построенную систему равен нулю. 00:42:26 Достаточные условия • Обсуждаются достаточные условия для системы многочленов быть базисом Гребнера. • Рассматривается сумма старших членов многочленов и ее представление в виде полиномиальной линейной комбинации. 00:55:12 Заключение • В заключении обсуждаются детали доказательства и идея доказательства критерия Бухбергера. • Предлагается поразмышлять над деталями доказательства. 01:00:18 Основная теорема алгебры • В видео обсуждается основная теорема алгебры, которая утверждает, что любой комплексный многочлен от одной переменной имеет комплексный корень. • Эта теорема является частным случаем теоремы Гильберта о нулях, которая обобщает основную теорему алгебры на многочлены с комплексными коэффициентами. 01:06:03 Алгоритмы решения систем полиномиальных уравнений • В видео рассматривается задача о решении системы полиномиальных уравнений и предлагается алгоритм Бухбергера для решения этой задачи. • Обсуждается идея алгоритма, который за конечное число шагов обязательно останавливается и выдает ответ, который удовлетворяет критерию Бухбергера. 01:12:37 Теорема Гильберта о нулях • В видео рассказывается о теореме Гильберта о нулях, которая утверждает, что идеал в кольце многочленов имеет общий ноль. • Обсуждается доказательство теоремы, основанное на задаче о решении системы полиномиальных уравнений. 01:17:41 Задача об исключении неизвестных • В видео предлагается программа для решения задачи об исключении неизвестных в системе полиномиальных уравнений. • Обсуждается процесс исключения неизвестных и доказательства теоремы Гильберта о нулях. 01:20:23 Линейное пространство многочленов • Рассматривается линейное пространство, определенное на пространстве пар многочленов. • Обсуждается оператор, который является линейным на этом пространстве. 01:21:14 Ограничение степени многочленов • Рассматривается ограничение степени многочленов, чтобы получить ограниченное линейное пространство. • Размерность этого пространства равна n-1. 01:23:27 Матрица линейного оператора • Предлагается написать матрицу линейного оператора в различных базисах. • Матрица называется матрицей Сильвестра, а определитель - результатом двух многочленов. 01:26:35 Заключение • Видео заканчивается без продолжения.