Математические этюды - Кусочно-гладкое вложение многогранников

Можно ли развертку многогранника свернуть в замкнутое тело, границы которого будут состоять не из кусочков плоскостей, а из кусочков гладких поверхностей? Возьмем куб с длиной ребра равной π. Развернем его в классическую крестообразную развертку и, специальным образом проведя оси координат, нарисуем функцию y=sin(x). Переложим кусочки развертки, отсекаемые синусоидой, и симметричные им. Развертка не изменилась, так как условия склейки границ при перекладывании были сохранены. Из полученной фигуры можно сложить вот такое тело. Однако рассмотренный пример, хотя и отвечает на поставленный вопрос, обладает одним недостатком. Его граница содержит два куска, унаследованных от куба, которые являются кусочками плоскостей. После построения этого примера конструкция, не обладающая указанным минусом, возникла очень быстро. Возьмем прямоугольный лист бумаги, с отношением сторон равным π:2. Из него, как из любого прямоугольного листа, можно свернуть треугольную пирамиду. Для этого соединим ребрами середины соседних сторон, а также проведем ребро, соединяющее середины длинных сторон. Складывая по этим ребрам, получим треугольную пирамиду. Из этого же листа бумаги можно получить и другую фигуру, граница которой будет составлена из гладких поверхностей. Соединим середины соседних сторон “четвертинками“ синусоид. Согнем лист по этим ребрам. Получим вот такое красивое тело . Оно является пересечением трех цилиндров: двух касающихся и одного направленного в перпендикулярном направлении. Таким образом, граница фигуры состоит из трех кусочков цилиндров. Удивительно насколько юна математика. Казалось бы, такие примеры должны были быть построены если и не во времена Архимеда, то все равно очень давно. Однако примеры, которые мы рассмотрели, были построены только осенью 2004 года.