При каком наименьшем натуральном n число 3^n оканчивается на 0001? // Сергей Фролов / Математический Мирок

При каком наименьшем натуральном n число 3^n оканчивается на 0001? Из предыдущего видеоролика мы уже знаем, что число 3^4000 оканчивается на 0001. Но является ли число 4000 наименьшим натуральным показателем степени числа 3, приводящим к такому результату? Отметим, что только степени числа 3 с показателями степени, кратными четырём, оканчиваются на 1. Это означает, что задачу разумно решать для степеней числа 81 (т. е. 3^4), а после получения ответа перейти к основанию 3. Можно доказать, что если r — такое наименьшее натуральное число, что 81^r оканчивается на 0001, то для того, чтобы на 0001 оканчивалось число 81^p (p — натуральное), необходимо и достаточно, чтобы p делилось на r. Можно с помощью формулы бинома Ньютона показать, что число 81^125 оканчивается на 0001. Тогда, в соответствии с приведённым выше утверждением, число r следует искать среди делителей числа 125. После нахождения r остаётся лишь найти n по формуле n=4k.