#161. САМАЯ КРАСИВАЯ ФОРМУЛА В МАТЕМАТИКЕ — ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА: e^(iπ)+1=0
Разбираемся, как устроена самая красивая формула в математике: формула Эйлера e^(iπ) 1=0.
УСКОРИТЬ ПРОЦЕСС СОЗДАНИЯ НОВОГО ВИДЕО:
ЗАДАЧНИК КО ВСЕМ РОЛИКАМ:
МОИ КУРСЫ:
VK:
Литература:
Зорич В.А. Математический анализ. Часть I – Изд. 8, испр. – М: МЦНМО, 2017.
UPD. На 5:25 во второй и третьей строках, пропущен квадрат у “игрека“ – не судите строго! Корректный кадр здесь:
БОЛЬШЕ КРУТЫХ ВИДЕО ПО ЗАНИМАТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ
1. Как извлекать корни в столбик:
2. Логарифмическая линейка:
3. Числа Фибоначчи:
4. Что больше: e^π или π^e?
5. Математические анекдоты:
Привет! В этом ролике мы в рамках школьной программы постараемся разобраться с тем, что такое разложение функции в ряд Тейлора (ряд Маклорена) на примере экспоненты, посмотрим на графическую связь функций и степенных рядов. Ну а в финальной стадии разберемся с известным тождеством Эйлера, которое многие математики признают самым красивым из всех.
По ходу ролика упоминается немало различных теорем из курса математического анализа, если у вас есть желание разобраться со строгим доказательством использованных утверждений, можете обратиться к книге В.А.Зорича по математическому анализу. Если вам нравится математика — обязательно подпишитесь на этот канал: здесь есть, что посмотреть!
В надежде увидеть больше зрителей, разобравшихся в содержании ролика, резюмирую и пересказываю его текстом.
СУТЬ ВКРАТЦЕ.
Мы пытаемся понять, как работает формула Тейлора (ее частный случай — формула Маклорена) на примере функции f(x)=e^x: смысл в том, что многие функции, экспоненту в частности, удается представить в иной, более удобной в некоторых задачах, форме — с помощью степенного ряда. Далее, работая в этой удобной форме, совершаем несколько нехитрых преобразований и доказываем верность равенства e^(iπ) 1=0.
КОНКРЕТНЫЕ ШАГИ.
1. Воочию убедились в существовании таких полиномов, графики функций которых могут быть сколько угодно похожими на графики функций e^x, sinx и cosx [0:01].
2. Увидели формулы, которые позволяют получить такие волшебные полиномы [1:24].
3. Пробуем разобраться с этими формулами на примере экспоненты: мы ограничились нахождением первых пяти производных у f(x)=e^x и у g(x)=a bx cx² ....Дифференцируем f(x) — раз, затем полученную функцию еще раз, потом еще, еще и еще... , то же самое и с g(x) — последовательно находим производные [2:37].
4. Нашли значения всех этих производных и самих функций в точке x=0: подставили вместо “икс“ нолик в функции f(x) и g(x) [3:00].
3. Приравняли найденные значения (3-ий и 5-ый столбцы), тем самым нашли значения неизвестных коэффициентов a, b, c и т.д. [3:17].
5. Обобщив все это дело, получили разложение e^x в ряд, который называется рядом Маклорена. Можешь даже ставить ударение на “e“, не обижусь, главное, осознать посыл: если функции, упрощенно говоря, одинаковы, то не могут быть у них разные значения производных — тоже должны быть одинаковыми [4:27].
6. С помощью все той же формулы Маклорена можно получить разложения для sinx и cosx — это предлагаю сделать в качества упражнения. Итог показываю в момент [4:49].
7. Все три представленных разложения функций e^x, sinx, cosx верны для комплексных аргументов [5:09]. Почему — это отдельная история, ну а о комплексных числах кое-что рассказывал вот здесь:
8. Вместо z мы взяли iy для функции e^z: поскольку iy — тоже некоторый комплексный аргумент, то формулы (точнее определения) для наших функций все еще работают [5:18].
9. Сгруппировали слагаемые, и оказалось, что ряд для экспоненты от аргумента iy содержит в себе разложения для синуса и косинусов — получили тождество e^(iy)=cosy isiny [5:40]. Тут есть небольшие промахи в кадре — пропущены квадраты у игреков, исправил это здесь:
10. Взяли y=π, вспомнили, что cosπ=-1, sinπ=0. Значит, e^(iπ) 1=0, ч.т.д. [5:54].
Далее были шутки про пустой кошелек и прочие дела. Хэппи энд!
0:00 — Экспонента в виде ряда
0:51 — Ряды для синуса и косинуса
1:20 — Доказательство разложения e^x
4:51 — Самая красивая формула!
6:10 — Что красивого?
#Математика #Матан #Эйлер
1 view
390
108
4 months ago 00:12:31 1
Schizophrenic Wands | Noita
4 months ago 01:30:48 1
СУДЬБА в христианстве. ЧТО ЗНАЧИТ «нести свой крест»? ВОЛЯ Божья. Прямой эфир из Петербурга
4 months ago 00:01:00 1
Станислав Говорухин про Маньку Облигацию и Ларису Удовиченко /Монолог в 4-х частях, 2011 #shorts
4 months ago 00:41:24 1
ЖКХ (ЖКУ) - РАЗБОР ПОЛЁТОВ С ПОЗИЦИИ ПРАВА И “ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА“. ( Часть 2 из 3 )
4 months ago 00:19:22 1
ТЕСТ ИКРЫ
4 months ago 00:09:07 1
Рецепт от Ивлева – БИТЫЕ БАКЛАЖАНЫ С СЫРОМ И ТОМАТАМИ
4 months ago 00:17:48 1
🍞Латвийский Кисло-Сладкий Хлеб на ржаной закваске по рецепту С. Аристовой🍞
4 months ago 00:12:49 1
БОРЩ #КОНКУРС - Рецепты от Ивлева
4 months ago 01:53:27 1
СЛИВ ЕГЭ 2024 ПО ОБЩЕСТВУ | РЕШАЕМ 1 и 2 ЧАСТЬ | Обществознайка | ЕГЭLand
4 months ago 00:16:46 1
😍 Самая лёгкая сумочка крючком \ Как связать чехол для телефона
4 months ago 00:10:20 1
Россия промышленная: новые заводы и цеха построенные за март 2024 года (выборочно). Выпуск № 4
4 months ago 00:24:13 1
Прокатился на самом мощном Volvo на свете!
4 months ago 00:07:07 1
Рецепты от Ивлева - салат из хрустящих баклажанов.
4 months ago 00:17:30 1
Лютая сила предплечий. Это надо видеть!
4 months ago 00:42:54 1
ПОЧЕМУ НЕВОЗМОЖНО ОПЛАЧИВАТЬ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИЮ!?
4 months ago 00:35:51 1
ЖКХ (ЖКУ) - РАЗБОР ПОЛЁТОВ С ПОЗИЦИИ ПРАВА И “ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА“. (Часть 1 из 3 )
4 months ago 00:06:21 1
Прошиваю Samsung A51
4 months ago 00:08:52 1
🔥 Самая ПРОСТАЯ и ПРИБЫЛЬНАЯ ферма железа Майнкрафт -
4 months ago 00:42:42 1
ПОЧЕМУ НЕ НАДО ПЛАТИТЬ ЗА ЖКХ ???
4 months ago 00:08:33 1
САМЫЙ БЫСТРЫЙ И ВКУСНЫЙ ПЕРЕКУС - ГОРЯЧИЙ РОЛЛ В ЛАВАШЕ
4 months ago 01:54:35 1
Просто Лучший Ауткаст
4 months ago 00:04:54 1
Галкин и усы. Пугачёва: “Ложный стыд“. Макаревич трезвый не поёт. Волкова, «Тату»: “Рак во сне“
4 months ago 00:00:30 1
спидран по тиктоку 161 | Самый опасный город
4 months ago 00:03:00 1
Овсянка и Яблоко! Самый простой ПП ТОРТ НА СКОВОРОДЕ без муки и без сахара