Функциональная дифференциальная геометрия. Чтение 26. Параллельный транспорт

Свершилось! Наконец, мы можем взять и перенести палочку параллельно самой себе вдоль произвольной кривой на многообразии. Для этого мы представляем траекторию отображением g многообразия R (вещественные числа) в интересующее нас многообразие M. Пользуясь освоенными ранее конструкциями над отображениями многообразий: векторными полями и полями форм над отображением (над областью значений отображения) и дифференциалом отображения - строим ковариантную производную по направлению поля d/dt (естественного координатного поля в R) над g. Утверждаем, что поле u над g переносится параллельно самому себе вдоль кривой g, если его ковариантная производная над g вдоль направления d/dt равна 0. Иными словами поле не меняется под действием оператора линейного транспорта по направлению поля dg(d/dt). Проще говоря, при сдвиге вдоль кривой g поле переходит само в себя. Из этого условия мы можем вычислить систему дифференциальных уравнений (и мы её автоматически вычисляем в SCMUtils для произвольной кривой на сфере), которые описывают эволюцию компонент векторного поля u при его параллельном транспорте вдоль кривой g. Нам остаётся только выбрать некоторое граничное условие, то есть, некоторый конкретный вектор (ту самую палочку) в некоторой точке на кривой g, и проинтегрировать систему дифференциальных уравнений с этого места до интересующей нас конечной точки. #геометрия и #lisp 1P.S. К сожалению, возможны проблемы со звуком. В следующий раз постараюсь их решать более радикальными методами.