Алгебра 9 класс (Урок№38 - Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.)
Видео на Дзен
Алгебра 9 класс
Урок№38 - Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.
Напомним, что геометрической прогрессией называется последовательность ненулевых чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Из определения следует, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от нуля.
Зная первый член и знаменатель, можно найти любой член геометрической прогрессии по его номеру. Это позволяет сделать формула n-го члена.
Мы выяснили, что последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого её члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов. Это свойство геометрической прогрессии называется её характеристическим свойством.
Более того, квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная с некоторого, равен не только произведению своих непосредственных соседей, но и произведению членов прогрессии, находящихся от него на одинаковом расстоянии.
Например, квадрат 10-го члена геометрической прогрессии равен произведению 9-го и 11-го членов, а также 8-го и 12-го, 7-го и 13-го, … 1-го и 19-го.
Обозначим сумму первых n членов геометрической прогрессии как эс энное и запишем эту сумму.
Умножим полученное равенство на знаменатель прогрессии q.
Учитывая, что a1q = a2, a2q = a3, a3q = a4 ... an-1q = an, получаем равенство 2.
Вычитаем из равенства 2 равенство 1.
При q, не равном единице, делим обе части равенства на q минус 1 и получаем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.
Вернёмся к задаче, которую мы решали в начале урока. Найдём количество зёрен, которые попросил в награду у принца создатель шахмат: на первую клетку шахматной доски он просил положить одно зерно, на каждую следующую в два раза больше зёрен, чем на предыдущую.
Заметим, что эти числа образуют геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем 2. В этой прогрессии 64 члена – по количеству клеток на шахматной доске. На последнюю клетку нужно было положить 2 в 63-й степени зёрен.
А общее количество зёрен равно сумме первых 64-х членов данной геометрической прогрессии.
Вычислим приближённо массу всего зерна. Заметим, что 2 в десятой степени равно 1024, округлим до 1000. Тогда в награду изобретателю нужно дать 16, умноженное на 10 в 18-й степени зёрен.
Масса одного пшеничного зерна составляет примерно 0,06 грамма.
Масса всех зёрен должна составить примерно 10 в 12-й степени тонн, то есть триллион тонн. Однако, такого количества пшеницы не собрало человечество за все годы своего существования.
По полученной формуле можно находить сумму n первых членов геометрической прогрессии, если известны её первый и n-й члены, знаменатель и количество членов. Но далеко не всегда нам известен n-й член. И не обязательно его находить.
Воспользуемся формулой n – го члена геометрической прогрессии и выведем ещё одну формулу суммы первых n членов – через первый член и знаменатель геометрической прогрессии.
Найдём сумму первых семи членов геометрической прогрессии с первым членом 4400 и знаменателем –0,1.
Сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна 364, её знаменатель равен 3. Найдём первый член.
Запишем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, подставим в неё известные величины, решим полученное уравнение.
Первый член геометрической прогрессии равен 1.
1 view
0
0
4 months ago 00:19:37 1
Ошибки при изучении математикиIКак понять математику
4 months ago 00:12:42 1
Разбор 19 задания с единичками из реального ЕГЭ 2020 по математике
4 months ago 00:09:42 1
Разбор 19 задания из реального ЕГЭ 2020 по математике
4 months ago 00:16:17 1
✓ Арифметическая прогрессия | ЕГЭ. Задание 19. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин
4 months ago 00:11:59 1
✓ Несколько чисел на доске | ЕГЭ-2017. Задание 19. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин
4 months ago 00:13:00 1
✓ Восемь карточек | ЕГЭ. Задание 19. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин
4 months ago 00:10:25 1
Урок 12. Математическая статистика. Базовые понятия: меры центральной тенденции, частотная таблица.
4 months ago 00:24:49 1
ИЗИ балл на ОГЭ. Все типы задания №11 графики функций!
4 months ago 00:13:04 1
Почему математика после 6 класса оказывается бесполезной?
4 months ago 00:11:07 1
Уравнения с модулем. Разбор 22 задания из ОГЭ | Математика 9 класс | TutorOnline
4 months ago 00:27:46 1
ЕГЭ2024. Профильная математика. Разбираю самые обидные ошибки / Математик МГУ
4 months ago 02:49:19 1
Вариант #28 из задач ФИПИ - Уровень Сложности ЕГЭ 2024| Математика Профиль| Оформление на 100 Баллов
4 months ago 00:03:38 1
✓ Реальный параметр из ЕГЭ за три минуты | ЕГЭ-2019. Задание 18. Математика. Профиль | Борис Трушин
4 months ago 00:19:47 1
✓ Свежий параметр | ЕГЭ-2019. Задание 18. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин
4 months ago 00:14:43 1
✓ Вася и Петя решают задачи | Досрок ЕГЭ-2019. Задание 19. Математика. Профиль | Борис Трушин
4 months ago 00:31:22 1
✓ Как решать стереометрию | ЕГЭ-2024. Математика. Профильный уровень. Задание 14 | Борис Трушин
4 months ago 00:34:48 1
✓ Самая сложная задача в ЕГЭ-2020 | Задание 19. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин |
4 months ago 00:26:14 1
✓ Задача, которую никто не решил | ЕГЭ-2013. Задание 19. Математика. Профиль | Борис Трушин
4 months ago 00:31:24 1
✓ 30 чисел на доске | ЕГЭ-2017. Задание 19. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин
4 months ago 00:28:24 1
✓ Последовательность натуральных чисел | ЕГЭ-2016. Задание 19. Математика | Борис Трушин
4 months ago 00:19:01 1
✓ Задуманные числа | ЕГЭ-2017. Задание 19. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин
4 months ago 00:19:35 1
✓ Числа на доске | ЕГЭ-2018. Задание 19. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин
4 months ago 00:17:55 1
✓ Целые числа на доске | Демоверсия ЕГЭ-2018. Задание 19. Математика. Профиль | Борис Трушин
4 months ago 00:12:09 1
✓ На доске написаны числа 2 и 3 | ЕГЭ-2016. Задание 19. Математика. Профиль | Борис Трушин