Случайные разрезы и распилы // Александр Гайфуллин / ЛШСМ 2022

В геометрии довольно много красивых вероятностных сюжетов, связанных с вопросами о том, как выглядит «типичный» объект какого-либо вида. Например, пусть пространство случайным образом рассечено на части плоскостями; получилось много выпуклых многогранников. * Сколько граней в среднем будет у такого многогранника? * Какой будет средняя величина двугранного угла такого многогранника? * Рассмотрим только те части разбиения, которые являются тетраэдрами. Какой будет средняя величина двугранного угла такого тетраэдра? (Один из этих трех вопросов тривиален — подумайте, какой...) Я постараюсь рассказать, как ставить и решать некоторые задачи такого рода, в основном связанные с величинами «случайных углов», и, вообще, как воспринимать вероятность в геометрии и работать с такими понятиями, как «случайная точка», «случайная прямая», «случайный многогранник». В качестве приложения я расскажу вероятностное доказательство знаменитой формулы Шлефли. Лекция доступна школьникам. Гайфуллин Александр Александрович — доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна 20 июля 2022 г