Замечательные решётки. Семинар 1 // Георгий Шабат / ЛШСМ 2024

Слово решётка имеет много смыслов в математике. Мы, однако, будем заниматься обычными решётками на евклидовой плоскости (то есть дискретными подгруппами аддитивной группы R²) и их обобщениями. Что делает решётки замечательными? Два ответа в случае плоскости почти бросаются в глаза: замечательны симметричные и плотные решётки (с точки зрения упаковок кругов одинакового радиуса с центрами в узлах решётки). Многомерные обобщения этих объектов связаны с разнообразными математическими теориями, о которых будет рассказано в курсе. В частности, будет рассказано о работах недавнего филдсовского лауреата Марины Вязовской, доказавшей (с помощью изобретенных ей волшебных функций) оптимальность двух знаменитых решёток: 8-мерной так называемой Е8 и 24-мерной решётки Лича; второе доказательство было проведено Вязовской в сотрудничестве с четырьмя соавторами. Бо́льшая часть курса будет посвящена решёткам над C и над неархимедовыми полями. Понимание разных частей курса потребует разной математической подготовки. Для первых двух лекций будет достаточно некоторого владения основами математического анализа и знания комплексных чисел; крайне желательно также умение проверять числовые равенства с помощью современных компьютерных средств. Для третьей и четвёртой лекции потребуется владение некоторыми понятиями из «взрослой» математики, которые по возможности будут объяснены. План: 1. Решётки в Rⁿ. Кристаллографические группы и орнаменты. Решётки и плотные упаковки шаров. Решётка Коркина–Золотарёва E8 и Лича Λ24. Теоремы Вязовской с соавторами. 2. Решётки в C. Симметрии и эндоморфизмы. Ряды Эйзенштейна и другие модулярные формы. Тета-функции и j-инвариант. Мнимые квадратичные поля. 3. Решётки в C^g. Решётки и комплексные торы. Абелевы многообразия и многомерные тета-функции. Якобианы кривых. Проблема Шоттки. Гипотеза Новикова и теорема Шиоты-Кричевера. 4. Неархимедовы решётки. Поля p-адических чисел и решётки над ними. Деревья Брюа-Титса. Тета-функции Тейта. Классическая и p-адическая униформизации. Первые три лекции будут сопровождаться задачами. Конспект и задачи: Шабат Георгий Борисович — доктор физико-математических наук. Летняя школа «Современная математика», 21-27 июля 2024 г.