Нахождение математических ожиданий площади и периметра треугольника // Сергей Фролов / Математический мирок

На полуокружность радиуса r наугад бросается точка M. Найти математические ожидания площади и периметра треугольника, основание которого совпадает с отрезком, соединяющим концы полуокружности, а вершина, противолежащая основанию — с точкой M. При решении данной задачи будем действовать в рамках схемы геометрической вероятности, т. е. предполагать, что вероятность попадания случайной точки на дугу, принадлежащую полуокружности, пропорциональна длине этой дуги. Это означает, что длина дуги, соединяющей один из концов полуокружности с точкой M, является случайной величиной, распределённой по равномерному закону. Однако нам убудет удобно работать с другой случайной величиной — центральным углом, опирающимся на эту дугу. Он, очевидно, тоже является равномерно распределённой случайной величиной. Зная его минимальное и максимальное значения — 0 и π соответственно, мы можем записать плотность распределения вероятностей данной случайной величины. Для нахождения искомых математических ожиданий нам остаётся лишь выразить площадь и периметр треугольника через упомянутый центральный угол и найти определённые интегралы от произведений найденных функций и плотности распределения вероятностей центрального угла. Значения этих интегралов и будут являться искомыми математическими ожиданиями.