Олимпиадная задача о преобразованиях полиномов // Сергей Фролов / Математический Мирок

Квадратный трёхчлен f(x) разрешается заменить на один из трёхчленов x^2∙f(1 1/x) и (x−1)^2∙f(1/(x−1)). Можно ли с помощью таких операций из квадратного трёхчлена x^2 4x 3 получить трёхчлен x^2 10x 9? Для решения задачи представим f(x) в общем виде: f(x)=ax^2 bx c, где a отлично от 0. Применим к f(x) операции, описанные в условии задачи. Получим в результате два полинома степени не выше второй. Коэффициентами этих полином являются линейные комбинации коэффициентов a, b и c. Займёмся поиском инварианта, т. е. такой характеристики полинома, которая не изменяется в результате двух упомянутых преобразований. Рассмотрим две гипотезы: инвариант — это нетривиальная линейная комбинация коэффициентов полинома и инвариант — это их нетривиальная квадратичная форма. После нахождения инварианта выясним, удовлетворяют ли ему приведённые в условии задачи полиномы.