Готовим свой разум к разговору об электродинамике на языке дифференциальных форм. Для этого в терминах операций: понижения векторных полей через метрику (g♭), повышения полей форм через метрику (g♯), взятия внешней производной (d) и отображения форм через звёздочку Ходжа (g⋆) – мы выражаем стандартные операторы векторного анализа.
1. Градиент (grad), который указывает величину и направление скорейшего роста функции.
2. Ротор (curl), который в некотором смысле описывает поток поля в некоторой точке m через инфинитезимальные элементы поверхностей, перпендикулярных базисным векторам. Если эти потоки не сбалансированы, то можно представить, как они раскручивают инфинитезимальную пылинку, помещённую в точку m. Ротор указывает скорость и ось вращения такой пылинки.
3. Дивергенция (div), которая измеряет поток поля через инфинитезимальную поверхность вокруг точки, указывая присутствие в границах этой поверхности источника или стока поля.
Элементарная конструкция звёздочки Ходжа, которая является простым изоморфизмом (учитывающим метрику, но покоординатным фактически) между линейными пространствами p-форм и (n-p)-форм, позволяет нам на удивление ловко выразить все три понятия в виде, который не зависит от конкретных многообразия, метрики и системы координат. Стандартные определения grad, curl и div обычно дают в конкретном трёхмерном евклидовом пространстве.
#физика, #геометрия и #lisp, #иммуроран и современный #матан.
80 views
499
100
2 years ago 00:28:58 0
Сторонова О.А. Дифференциальная диагностика ГЭРБ и функциональных заболеваний пищевода
2 years ago 00:42:49 0
ГЭРБ, хронический гастрит и функциональная диспепсия. Алгоритмы дифференциального диагноза и лечения
9 years ago 00:16:05 14
Дифференциальная диагностика таза и длинны ног
7 years ago 01:29:26 104
Дифференциальная психология. Лекция 5. Психофизиологические и генетические индивидуальные различия
2 years ago 03:14:27 3
Диагностика и дифференциальная диагностика у больных с артериальной гипертензией
8 years ago 01:30:42 0
Лекция 17: Функциональные ряды (продолжение). Дифференциальные уравнения
1 year ago 00:45:04 0
Давыдова И.В. Дифференциальная диагностика и лечение бронхообструктивного синдрома у детей