Функциональная дифференциальная геометрия. Чтение 43. Звёздочка Ходжа

Готовим свой разум к разговору об электродинамике на языке дифференциальных форм. Для этого в терминах операций: понижения векторных полей через метрику (g♭), повышения полей форм через метрику (g♯), взятия внешней производной (d) и отображения форм через звёздочку Ходжа (g⋆) – мы выражаем стандартные операторы векторного анализа. 1. Градиент (grad), который указывает величину и направление скорейшего роста функции. 2. Ротор (curl), который в некотором смысле описывает поток поля в некоторой точке m через инфинитезимальные элементы поверхностей, перпендикулярных базисным векторам. Если эти потоки не сбалансированы, то можно представить, как они раскручивают инфинитезимальную пылинку, помещённую в точку m. Ротор указывает скорость и ось вращения такой пылинки. 3. Дивергенция (div), которая измеряет поток поля через инфинитезимальную поверхность вокруг точки, указывая присутствие в границах этой поверхности источника или стока поля. Элементарная конструкция звёздочки Ходжа, которая является простым изоморфизмом (учитывающим метрику, но покоординатным фактически) между линейными пространствами p-форм и (n-p)-форм, позволяет нам на удивление ловко выразить все три понятия в виде, который не зависит от конкретных многообразия, метрики и системы координат. Стандартные определения grad, curl и div обычно дают в конкретном трёхмерном евклидовом пространстве. #физика, #геометрия и #lisp, #иммуроран и современный #матан.