Значение многочленов от матриц [3] // Алексей Белов // ЛШСМ

Общая постановка такова. Пусть P(x_1,…,x_n) — некоммутативный многочлен от матриц порядка n. Каким может быть множество его значений? И. Капланский и И. В. Львов поставили вопрос о том, что множество значений полилинейного многочлена есть векторное пространство. Решение проблемы Капланского для матриц второго порядка над квадратично замкнутым полем оказалось весьма нетривиальным и глубоким. Вопросы, связанные с уравнениями в матрицах, помимо прикладного значения имеют отношение к конструкции алгебраически замкнутого тела, к теореме о свободе: если добавить новую некоммутативную переменную и соотношение, где та участвует, то это не приведет к появлению новых соотношений. Имеется ряд глубоких проблем, относящихся к множеству значений слов в группе — в частности, в матрицах второго порядка. Белов Алексей Яковлевич — доктор физико-математических наук. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна 20-25 июля 2018 г.