Теория кос _ Кручение в группах кос поверхностей

Часть 18. Мы рассмотрим четыре подхода к такому важному аспекту групп кос поверхностей, как наличие или отсутствие элементов конечного порядка. 00:00 Косы на поверхностях 03:38 Фундаментальные группы поверхностей 07:28 Образующие групп кос поверхностей 10:23 Группы кос сферы (группы кос Гурвица) 12:19 Трюк Дирака (трюк с ремнём, трюк с тарелкой) и кручение в группах кос сферы 17:08 Фундаментальная группа пространства SO(3) движений трёхмерного евклидова пространства, гомеоморфного вещественному трёхмерному проективному пространству RP^3 29:46 Исследовательский проект о кручении и конечных подгруппах в группах кос сферы 31:28 Кручение в фундаментальных группах поверхностей 37:50 Теорема: среди групп кос поверхностей конечного типа кручение есть только на сфере и проективной плоскости 40:20 Отступление: как визуализировать группу кос поверхности с проколами 43:17 Первый подход: наличие конечномерного пространства Эйленберга — Маклейна и теорема Смита 49:57 Второй подход: наличие левоинвариантного линейного порядка 51:35 Отступление: вложение множества всех кос в вещественную прямую 54:48 Третий подход: наличие структуры Гарсайда 55:55 Исследовательский проект: на группах кос каких поверхностей есть структура Гарсайда? 58:10 Отступление: группа кос ленты (кольца) вкладывается в классическую группу кос 59:20 Четвёртый подход: лайт-версия теоремы Керекьярто и теорема Нильсена о реализации имеющих конечный порядок изотопических классов автогомеоморфизмов поверхностей периодическими автогомеоморфизмами Теория кос является одним из интереснейших разделов маломерной топологии. Современные исследования кос затрагивают различные аспекты теории групп, комбинаторики, динамики, гиперболической геометрии, алгебраической топологии, случайных процессов, теории представлений, а сама теория кос проникает в алгебраическую геометрию, теорию узлов, теорию гомеоморфизмов поверхностей, алгебраическую комбинаторику, теорию гомотопий, криптографию и т. д. К примеру, с помощью кос можно исследовать разрешимость алгебраического уравнения, зашифровать сообщение, описать произвольный узел или отображение между многомерными сферами. Мы охватим базовые и наиболее яркие сюжеты, ведущие к глубинным закономерностям теории кос.