Задачи управления и идентификации для квантовых графов

В рамках спецсеминара «Спектральная теория дифференциальных операторов» Под квантовыми графами или, иными словами, сетями дифференциальных уравнений мы понимаем дифференциальные уравнения на метрических графах, связанные определенными условиями в вершинах. Такие модели играют фундаментальную роль во многих областях науки. Интерес к задачам управления и обратным задачам для квантовых графов мотивирован приложениями к важным задачам классической и квантовой физики, химии, биологии, техники. Для деревьев, то есть графов без циклов, были изучены различные типы задач управления и обратных задач, но почти ничего не было сделано для графов с циклами. На семинаре будут описаны результаты в области управляемости и идентифицируемости для волнового уравнения и уравнения Шредингера на общих компактных графах. Будет доказана точная управляемость систем с оптимальным числом управлений и предложен алгоритм восстановления неизвестных коэффициентов уравнений, длин ребер и топологии графа. Основная идея — это надлежащий выбор наблюдений в форме производных по направлениям от решений дифференциальных уравнений на графе в определенных граничных и внутренних вершинах. Эти наблюдения гарантируют наблюдаемость и идентифицируемость соответствующих систем. Подход, о котором пойдет речь на семинаре, основан на методе граничного управления в теории обратных задач математической физики, который использует глубокие связи между управляемостью/наблюдаемостью и идентифицируемостью динамических систем. Другой составляющей этого подхода является эффективный leaf peeling метод. Так как число ребер в графах, возникающих в приложениях, обычно очень велико, предложены рекурсивные процедуры решения задач управления и идентификации. Эти процедуры позволяют пересчитывать данные с рассматриваемого графа на меньшие подграфы, «отпиливая» листья. Таким образом, комбинируются спектральные и динамические методы.